Аналитическая геометрия в пространстве

Содержание

Плоскость
Прямая в пространстве
Поверхность второго порядка
Сфера

Эллипсоид
Конус
Параболоид
Гиперболоид

Плоскость

Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

Вектор нормали плоскости

n⃗(A; B; C)

Каноническое уравнение плоскости

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Уравнение плоскости, проходящей через точку M (x₀; y₀; z₀) с нормальным вектором n⃗ {A; B; C}

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0

Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

Точка M₀(x₀; y₀; z₀), векторы k⃗ (x_k; y_k; z_k), l⃗ (x_l; y_l; z_l), определитель матрицы координат векторов равен нулю:

x − x₀	x_k	x_l
y − y₀	y_k	y_l	= 0
z − z₀	z_k	z_l

(x − x₀)(y_kz_l − y_lz_k) − (y − y₀)(x_kz_l − x_lz_k) + (z − z₀)(x_ky_l − x_ly_k) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁ (x₁; y₁; z₁), M₂ (x₂; y₂; z₂), M₃ (x₃; y₃; z₃)

x − x₁	y − y₁	z − z₁
x₂ − x₁	y₂ − y₁	z₂ − z₁	= 0
x₃ − x₁	y₃ − y₁	z₃ − z₁

(x − x₁)((y₂ − y₁)(z₃ − z₁) − (y₃ − y₁)(z₂ − z₁)) − (y − y₁)((x₂ − x₁)(z₃ − z₁) − (x₃ − x₁)(z₂ − z₁)) +
+ (z − z₁)((x₂ − x₁)(y₃ − y₁) − (x₃ − x₁)(y₂ − y₁)) = 0

Угол между плоскостями

1-я плоскость: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, нормальный вектор: n⃗ {A₁; B₁; C₁}

2-я плоскость: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, нормальный вектор: n⃗ {A₂; B₂; C₂}

$cos φ = \frac{{\vec{n}}_{1} {\vec{n}}_{2}}{| {\vec{n}}_{1} | | {\vec{n}}_{2} |} = \frac{A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$

Перпендикулярные плоскости

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

Параллельные плоскости

$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \neq \frac{D_{1}}{D_{2}}$

Совпадающие плоскости

$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{D_{1}}{D_{2}}$

Расстояние от точки M (x₀; y₀; z₀) до плоскости α: Ax + By + Cz + D = 0

$ρ (M; α) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Расстояние между двумя параллельными плоскостями α₁: Ax + By + Cz + D₁ = 0, α₂: Ax + By + Cz + D₂ = 0

$ρ (α_{1}; α_{2}) = \frac{| D_{2} - D_{1} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Прямая в пространстве

Каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор p⃗(a; b; c), точка M₀(x₀; y₀; z₀):

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M₀ (x₀; y₀; z₀) с нормальным вектором n⃗ {m; n; p}

$\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки M₁ (x₁; y₁; z₁), M₂ (x₂; y₂; z₂)

$\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}$

Параметрическое уравнение прямой

Направляющий вектор p⃗(a; b; c), точка M₀(x₀; y₀; z₀):

x = at + x₀,

y = bt + y₀,

z = ct + z₀

Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Плоскости: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Направляющий вектор прямой (определитель матрицы):

	i⃗	j⃗	k⃗
p⃗ =	A₁	B₁	C₁	= i⃗ (B₁C₂ − B₂C₁) + j⃗ (A₂C₁ − A₁C₂) + k⃗ (A₁B₂ − A₂B₁)
	A₂	B₂	C₂

p⃗ (B₁C₂ − B₂C₁; A₂C₁ − A₁C₂; A₁B₂ − A₂B₁)

Чтобы найти точку M₀, через которую проходит прямая, можно положить z = 0 и решить систему:

A₁x + B₁y + D₁ = 0,

A₂x + B₂y + D₂ = 0

Расстояние между точкой M₀ и прямой

Направляющий вектор прямой p⃗(a; b; c), точка M₁(x₁; y₁; z₁), принадлежащая прямой и точка M₀(x₀; y₀; z₀), не лежащая на прямой:

$d = \frac{| \vec{M_{0} M_{1}} \times \vec{p} |}{| \vec{p} |}$

Поверхность второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Сфера

Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке C(x₀; y₀; z₀)

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = R²

Параметрическое уравнение эллипсоида

x = x₀ + R sin θ cos φ,

y = y₀ + R sin θ sin φ,

z = z₀ + R cos θ

где 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π

Эллипсоид

Каноническое уравнение эллипсоида

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$

Параметрическое уравнение эллипсоида

x = a sin θ cos φ,

y = b sin θ sin φ,

z = c cos θ

где 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π

Конус

Каноническое уравнение конуса

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$

Вершина в точке O(0; 0), угол раствора 2Θ, ось совпадает с осью Oz

$\frac{c}{a} = ctg Θ$

Параболоид

Эллиптический параболоид

$z = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$

Если a = b, то такая фигура называется параболоидом вращения

Гиперболический параболоид

$z = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$

или

$z = \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Гиперболоид

Однополостный гиперболоид

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$

Двуполостный гиперболоид

$- \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$

Если a = b, то такая фигура называется гиперболоидом вращения

Аналитическая геометрия в пространстве

Содержание

Плоскость

Общее уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Каноническое уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку M (x0; y0; z0) с нормальным вектором n⃗ {A; B; C}

Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2), M3 (x3; y3; z3)

Угол между плоскостями

Перпендикулярные плоскости

Параллельные плоскости

Совпадающие плоскости

Расстояние от точки M (x0; y0; z0) до плоскости α: Ax + By + Cz + D = 0

Расстояние между двумя параллельными плоскостями α1: Ax + By + Cz + D1 = 0, α2: Ax + By + Cz + D2 = 0

Прямая в пространстве

Каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0 (x0; y0; z0) с нормальным вектором n⃗ {m; n; p}

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2)

Параметрическое уравнение прямой

Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Расстояние между точкой M0 и прямой

Поверхность второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка

Сфера

Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке C(x0; y0; z0)

Параметрическое уравнение эллипсоида

Эллипсоид

Каноническое уравнение эллипсоида

Параметрическое уравнение эллипсоида

Конус

Каноническое уравнение конуса

Параболоид

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Гиперболоид

Однополостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид

Уравнение плоскости, проходящей через точку M (x₀; y₀; z₀) с нормальным вектором n⃗ {A; B; C}

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁ (x₁; y₁; z₁), M₂ (x₂; y₂; z₂), M₃ (x₃; y₃; z₃)

Расстояние от точки M (x₀; y₀; z₀) до плоскости α: Ax + By + Cz + D = 0

Расстояние между двумя параллельными плоскостями α₁: Ax + By + Cz + D₁ = 0, α₂: Ax + By + Cz + D₂ = 0

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M₀ (x₀; y₀; z₀) с нормальным вектором n⃗ {m; n; p}

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки M₁ (x₁; y₁; z₁), M₂ (x₂; y₂; z₂)

Расстояние между точкой M₀ и прямой

Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке C(x₀; y₀; z₀)