Матрицы

Содержание

Единичная матрица

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю:

Сумма двух матриц

Складывать можно только одинаковые по размеру матрицы. Складываем соответствующие элементы:

Произведение матрицы на число

Каждый элемент матрицы умножаем на данное число:

Произведение двух матриц

Количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы

Складываем произведения элементов строк первой матрицы на соответствующие элементы стобцов второй:

c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + ... + a_1kb_k1

c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + ... + a_1kb_k2

...

c_1n = a₁₁b_1n + a₁₂b_2n + ... + a_1kb_kn

c_m1 = a_m1b₁₁ + a_m2b₂₁ + ... + a_mkb_k1

c_mn = a_m1b_1n + a_m2b_2n + ... + a_mkb_kn

A ⋅ B ≠ B ⋅ A

Ассоциатовность матричного умножения

(A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)

Возведение матрицы в квадрат

A² = A ⋅ A

Определитель можно найти только для квадратной матрицы

|A| = ΔA = detA =	a11	a12	= a11a22 − a21a12
	a21	a22

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₃a₂₁a₃₂ + a₁₂a₂₃a₃₁ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₂a₂₁a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂

|A| = $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$ = $a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{44}\end{array}\right|-a_{14}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}\end{array}\right|$ =
= a₁₁(a₂₂a₃₃a₄₄ + a₂₃a₃₄a₄₂ + a₂₄a₃₂a₄₃ − a₂₄a₃₃a₄₂ − a₂₂a₃₄a₄₃ − a₂₃a₃₂a₄₄) −
− a₁₂(a₂₁a₃₃a₄₄ + a₂₃a₃₄a₄₁ + a₂₄a₃₁a₄₃ − a₂₄a₃₃a₄₁ − a₂₁a₃₄a₄₃ − a₂₃a₃₁a₄₄) +
+ a₁₃(a₂₁a₃₂a₄₄ + a₂₂a₃₄a₄₁ + a₂₄a₃₁a₄₂ − a₂₄a₃₂a₄₁ − a₂₁a₃₄a₄₂ − a₂₂a₃₁a₄₄) −
− a₁₄(a₂₁a₃₂a₄₃ + a₂₂a₃₃a₄₁ + a₂₃a₃₁a₄₂ − a₂₃a₃₂a₄₁ − a₂₁a₃₃a₄₂ − a₂₂a₃₁a₄₃)

Для матриц 4 × 4 и более нужно взять первый элемент первой строки и умножить на определитель матрицы, полученной вычёркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. Затем вычитаем произведение второго элемента первой строки и соответствующего ему определителя. И так далее, пока строка не закончится. Примечание: знаки "+" и "−" чередуются.

Свойства определителя:

1) Величина определителя не меняется при транспонировании: |A| = |A^T|

2) Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами, то определитель сменит знак

3) Из строки или столбца определителя можно вынести общий множитель, множитель можно внести в любую строку или столбец

4) Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю

5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Транспонировать можно любую матрицу. Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно её строки записать в столбцы транспонированной матрицы:

Минор можно найти только для квадратной матрицы

Для элемента m₁₁ в миноре: вычёркиваем 1 строку и 1 столбец из матрицы, оставшийся элемент a₂₂ = m₁₁

Для элемента m₁₂ в миноре: вычёркиваем 1 строку и 2 столбец из матрицы, оставшийся элемент a₂₁ = m₁₂ и т.д.

Для элемента m_kl в миноре: вычёркиваем k строку и l столбец из матрицы, m_kl - это определитель оставшейся матрицы

Пример (аналогично для матриц 4 × 4 и более):

Зелёным выделены элементы вычёркиваемых строк и столбцов.

A_ij = (− 1)^i+j ⋅ M_ij

Т.е. меняем знаки у элементов минора, у которых сумма номеров строки и столбца нечётна (выделены зелёным цветом):

ΔA = detA = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃

Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\cdot A_{*}^T$

|A| - определитель матрицы A, A_*^T - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A

Пример:

|A| =	a	b	c	= aem + bfk + cdl − cek − afl − bdm
	d	e	f
	k	l	m