Гиперболические функции

Гиперболический синус

$shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Гиперболический косинус

$chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Гиперболический тангенс

$thx=\frac{shx}{chx}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

Гиперболический котангенс

$cthx=\frac{chx}{shx}=\frac{1}{thx}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$

Гиперболический секанс

$schx=\frac{1}{chx}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$

Гиперболический косеканс

$cschx=\frac{1}{shx}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

Связь с тригонометрическими функциями

где i - мнимая единица

Чётность/нечётность

sh(−x) = −sh x

ch(−x) = ch x

th(−x) = −th x

cth(−x) = −cth x

sch(−x) = sch x

csch(−x) = −csch x

ch²x − sh²x = 1

Формулы сложения:

sh(x ± y) = sh x ch y ± sh y ch x

ch(x ± y) = ch x ch y ± sh y sh x

th(x ± y) = $\frac{thx\pm thy}{1\pm thxthy}$

cth(x ± y) = $\frac{1\pm cthxcthy}{cthx\pm cthy}$

Формулы двойного аргумента:

sh 2x = 2 ch x sh x = $\frac{2thx}{1-{th}^{2}x}$

ch 2x = ch²x + sh²x = 2ch²x − 1 = 1 + 2sh²x = $\frac{1+{th}^{2}x}{1-{th}^{2}x}$

th 2x = $\frac{2thx}{1+{th}^{2}x}$

cth 2x = $\frac{1}{2}$(th x + cth x)

th x = $\frac{ch2x-1}{sh2x}=\frac{sh2x}{1+ch2x}$

ch 2x ± sh 2x = (sh x ± chx)²

Обратный гиперболический синус, ареа-синус

$arshx=ln(x+\sqrt{x^2+1})$

Обратный гиперболический косинус, ареа-косинус

$archx=ln(x+\sqrt{x^2-1})$; x ≥ 1

Обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс

$arthx=ln\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}$; |x| < 1

Обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс

$arcthx=ln\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\frac{1}{2}ln\frac{x+1}{x-1}$; |x| > 1

Обратный гиперболический секанс, ареа-секанс

$arschx=ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}$; 0 < x ≤ 1

Обратный гиперболический косеканс, ареа-синус

$arcschx=ln\frac{1+sgnx\sqrt{1+x^2}}{x}=\{\begin{array}{}ln\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},x<0\\ ln\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},x>0\end{array}$

$(\text{Сигнум:}sgnx=\{\begin{array}{}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array})$