Векторная алгебра

a⃗ {x_a; y_a; z_a}

a⃗ = x_ai⃗ + y_aj⃗ + z_ak⃗

Точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂):

M₁M₂⃗ {x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁}

$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}$

$cos\alpha =\frac{x_a}{\left|\vec{a}\right|}$

$cos\beta =\frac{y_a}{\left|\vec{a}\right|}$

$cos\gamma =\frac{z_a}{\left|\vec{a}\right|}$

cos²α + cos²β + cos²γ = 1

α - угол между вектором и осью Ox,
β - угол между вектором и осью Oy,
γ - угол между вектором и осью Oz

a⃗ {x_a; y_a; z_a} ± b⃗ {x_b; y_b; z_b} = c⃗ {x_a ± x_b; y_a ± y_b; z_a ± z_b}

k ⋅ a⃗ {x_a; y_a; z_a} = b⃗ {kx_a; ky_a; kz_a}

Свойства действий с векторами

Переместительный закон: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗

Сочетательный закон: (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)

a⃗ − b⃗ = a⃗ + (− b⃗)

Сочетательный закон: (kl) a⃗ = k (la⃗)

Первый распределительный закон: (k + l) a⃗ = ka⃗ + la⃗

Второй распределительный закон: k (a⃗ + b⃗) = ka⃗ + kb⃗

a⃗ ⋅ b⃗ = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

a⃗ ⋅ b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos α

α - угол между векторами a⃗ и b⃗

	i⃗	j⃗	k⃗
c⃗ = a⃗ × b⃗ =	xa	ya	za	=
	xb	yb	zb

i⃗ (y_az_b − y_bz_a) + j⃗ (x_bz_a − x_az_b) + k⃗ (x_ay_b − x_by_a)

c⃗ {y_az_b − y_bz_a; x_bz_a − x_az_b; x_ay_b − x_by_a}

Модуль векторного произведения равен площади
параллелограмма, построенного на этих векторах:

|a⃗ × b⃗| = |a⃗| |b⃗| sin α

α - угол между векторами a⃗ и b⃗

Площадь треугольника, построенного на данных
векторах, равен 1/2 площади параллелограмма.

Свойства векторного произведения

a⃗ × b⃗ = − (b⃗ × a⃗)

(λa⃗) × b⃗ = λ(a⃗ × b⃗)

(a⃗ + b⃗) × c⃗ = a⃗ × c⃗ + b⃗ × c⃗

Модуль смешанного произведения равен объёму
параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Объём пирамиды, построенной на данных векторах,
равен 1/6 объёма параллелепипеда.

	xa	ya	za
a⃗ b⃗ c⃗ = (a⃗ × b⃗)c⃗ =	xb	yb	zb	=
	xc	yc	zc

= x_ay_bz_c + x_by_cz_a + x_cy_az_b − x_cy_bz_a − x_ay_cz_b − x_by_az_c

Компланарные векторы
(лежащие в одной или паралленых плоскостях)

a⃗ b⃗ c⃗ = 0

Коллинеарные (параллельные) векторы

Координаты векторов пропорциональны:

a⃗ = λb⃗

a⃗ × b⃗ = 0

Ортогональные (перпендикулярные) векторы

a⃗ ⋅ b⃗ = 0