Стереометрия

Содержание

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и только одну.

Существование плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и только одну.

Пересечение прямой с плоскостью

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежат этой плоскости.

Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и только одну.

Разбиение пространства плоскостью на два полупространства

Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки A и B принадлежат одному полупространству, то отрезок AB не пересекает плоскость. Если же точки A и B принадлежат разным полупространствам, то отрезок AB пересекает плоскость.

Теорема о параллельности прямых

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и только одну.

Признак параллельности прямых

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Теоремы о параллельности прямых и плоскостей

1. Если плоскость α проходит через прямую a, параллельную другой плоскости β, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения b параллельна первой прямой a.

2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.

Свойства параллельных плоскостей

1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

2. Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямых в пространстве

Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Теорема о трёх перпендикулярах

1. Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной.

2. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

О параллелепипеде

У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

О точке пересечения диагоналей параллелепипеда

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

О прямоугольном параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерний.

Об усечённой пирамиде

Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная её основанию, отсекает подобную пирамиду.

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника с числом вершин k, числом граней m и числом рёбер n выполняется следующее равенство: k + m − n = 2.

О сечении цилиндра

Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

О сечении конуса

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает его по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.

О сечении шара плоскостью

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из цента шара на секущую плоскость.

О симметрии шара

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

О касательной плоскости к шару

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

О пересечении двух сфер

Линия пересечения двух сфер есть окружность.