Планиметрия

Содержание

1. Через любые две точки проходит прямая, и только одна.

2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и только один.

3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и только один.

4. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Перпендикуляр к прямой

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и только один.

Свойства равнобедренного треугольника

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Накрест лежащие углы

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Соответственные углы

1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Односторонние углы

1. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против большего угла лежит большая сторона.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Расстояние между параллельными прямыми

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

О площади треугольника

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

О средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

О касательной к окружности

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

О вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Об угле между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает данная хорда.

О пересечении хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

О биссектрисе угла

1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

2. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

О срединном перпендикуляре

1. Каждая точка срединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

2. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на срединном перпендикуляре к нему.

О пересечении высот треугольника

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Об окружности, вписанной в треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность.

Об окружности, описанной около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность.

О средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

О разложении вектора по двум неколлинеарным векторам

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным способом.

Об окружности, описанной около правильного многоугольника

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и только одну.

Об окружности, вписанной в правильный многоугольник

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и только одну.