Статистика

Среднее арифметическое:

$\stackrel{-}{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}=\frac{x_1+x_2+\text{...}+x_n}{n}$

x_i - значение случайной величины, n - количество значений случайной величины

Пример: 2, 3, 7, 11, 17
x̅ = (2 + 3 + 7 + 11 + 17) : 5 = 8

Размах

Размах R ряда чисел - это разность между наибольшим x_наиб и наименьшим x_наим из этих чисел

R = x_наиб − x_наим

Пример: 2, 3, 7, 11, 17, 22, 37
R = 37 − 2 = 35

Мода

Мода M₀ ряда чисел - это число, встречающееся наиболее часто в данном ряду

Пример: 1, 1, 5, 3, 13, 7, 13, 8, 7, 11, 17, 7, 2, 13, 19, 7
M₀ = 7

Медиана

Медиана m_e упорядоченного ряда с нечётным числом членов - это число, записанное посередине

Пример: 1, 3, 7, 11, 17, 22, 37
m_e = x₄ = 11

Медиана m_e упорядоченного ряда с чётным числом членов - это среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине

Пример: 1, 3, 7, 11, 17, 22, 37, 77
m_e = (x₄ + x₅) : 2 = (11 + 17) : 2 = 14

Относительные частоты

$w_i=\frac{n_i}{n}$

$\sum _{i=1}^n{w}_i=1$

n_i - количество повторений величины x_i, n = n₁ + n₂ + ... + n_i - общее количество случайных величин

Пример:

xi	2	3	7	11
ni	5	7	2	6

n = n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 5 + 7 + 2 + 6 = 20
w₁ = n₁ : n = 5 : 20 = 0,25
w₂ = n₂ : n = 7 : 20 = 0,35
w₃ = n₃ : n = 2 : 20 = 0,1
w₄ = n₄ : n = 6 : 20 = 0,3
w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 0,25 + 0,35 + 0,1 + 0,3 = 1

Математическое ожидание дискретного или интервального вариационного ряда:

M(X) = $\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot p_i$ = x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... + x_n·p_n

x_i - значение случайной величины X, p_i - вероятность появления значения x_i; p₁ + p₂ + ... + p_i = 1

Пример:

xi	2	3	7	11
pi	0,5	0,17	0,2	0,13

M(X) = 2·0,5 + 3·0,17 + 7·0,2 + 11·0,13 = 1 + 0,51 + 1,4 + 1,43 = 4,34

Математическое ожидание непрерывной функции:

$M\left(X\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)\cdot xdx$

Дисперсия дискретного или интервального вариационного ряда:

D(X) = M(X − M(X))² = M(X ²) − (M(X))²

$D\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\cdot p_i-{(\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot p_i)}^2$ = (x₁²·p₁ + x₂²·p₂ + ... + x_n²·p_n) − (x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... + x_n·p_n)²

Дисперсия непрерывной функции:

$D\left(X\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)\cdot x^{2}dx-{\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f\right(x)\cdot xdx)}^2$

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}$