Квадратичная функция y = ax² + bx + c

Уравнение: y = ax² + bx + c, график - парабола

1) y = ax² + c, b = 0

Знак коэффициента a показывает, куда направлены ветви параболы. Если a больше нуля (рис. 1.1), то ветви направлены вверх, если меньше нуля (рис. 1.2), то вниз.

При b = 0 вершина параболы лежит на оси Oy и парабола симметрична относительно этой оси.

Коэффициент c показывает пересечение с осью Oy. При c > 0 пересечение выше оси Ox, c < 0 - пересечение ниже оси Ox, при c = 0 парабола проходит через точку (0; 0).

2) y = ax² + bx + c

Координата x вершины параболы определяется по формуле $x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}$. Поэтому смещение по оси Ox зависит от знака обоих коэффициентов a и b. Координата y вершины: $y_{\text{в}}=-\frac{b^2}{4a}+c$

При a > 0 и b < 0, и при a < 0 и b > 0 смещение вправо.

При a < 0 и b < 0, и при a > 0 и b > 0 смещение влево.

3) Значение коэффициента a показывает сжатие или растяжение графика.

Для a > 0 (рис. 3.1): при a > 1 происходит сжатие, при a = 1 - стандартная форма параболы, при 0 < a < 1 - растяжение графика по оси Ox.

Для a < 0 (рис. 3.2): при a < −1 (коричневый) происходит сжатие, при a = −1 - стандартная форма параболы, при −1 < a < 0 - растяжение графика по оси Ox (зелёный).

Записать уравнение параболы по графику

Пример 1

Определим три точки: A(− 2; − 2), B(0; − 2), и вершина C(− 1; − 4).

Коэффициент c равен координате y точки B пересечения параболы с осью Oy, c = − 2.

Из формулы для вершины параболы $-1=-\frac{b}{2a}$ => 2a = b

Подставим в общее уравнение параболы координаты точки C и коэффициент c:

− 4 = a ⋅ (− 1)² + b ⋅ (− 1) − 2

a − b = − 2

Получаем систему $\{\begin{array}{c}2a=b,\\ a-b=-2\end{array}$

Из неё находим: a = 2, b = 4.

Уравнение: y = 2x² + 4x − 2

Пример 2

Так как ветви параболы направлены вниз, то коэффициент a меньше нуля.

Точки пересечения параболы с осью Ox (A(− 3; 0) и B(1; 0)) являются корнями квадартного уравнения, поэтому можем записать: y = a(x + 3)(x − 1) (*)

Подставим в (*) координаты вершины C(− 1; 2):

2 = a(− 1 + 3)(− 1 − 1)

a = − 0,5

Таким образом, y = − 0,5(x + 3)(x − 1)

Уравнение: y = − 0,5x² − x + 1,5

Найти точки пересечения графиков

Даны функции y = 2x² + x − 15 и y = x² + 5x + 6

Точки пересечения можно найти, приравняв левые части функций:

2x² + x − 15 = x² + 5x + 6

x² − 4x − 21 = 0

x₁ = − 3, x₂ = 7

Координаты y можно найти, подставив найденное значение в любую из данных функций:

y₁ = 2 ⋅ (− 3)² + (− 3) − 15 = 0

y₂ = 2 ⋅ 7² + 7 − 15 = 90

Точки пересечения: (− 3; 0) и (7; 90)

Построение графика

Дана функция y = x² + 4x + 3

График можно построить как по точкам, так и с помощью смещений по осям. Для второго варианта выделим полный квадрат:

y = x² + 4x + 3 = (x² + 4x + 4) − 1 = (x + 2)² − 1

Таким образом, вершина параболы смещается на 2 влево по оси Ox и на 1 вниз по Oy.