Пределы

Содержание

Свойства пределов
Примеры
Замечательные пределы

Правила Лопиталя
Эквивалентные бесконечно малые функции
Асимптоты

Свойства пределов

1) $lim_{x \to a} C = C$ , где C = const

2) $lim_{x \to a} C f (x) = C lim_{x \to a} f (x)$ , где C = const

3) $lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x)$

$lim_{x \to a} (f_{1} (x) + ... + f_{n} (x)) = lim_{x \to a} f_{1} (x) + ... + lim_{x \to a} f_{n} (x)$

4) $lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x)$

$lim_{x \to a} (f_{1} (x) \cdot ... \cdot f_{n} (x)) = lim_{x \to a} f_{1} (x) \cdot ... \cdot lim_{x \to a} f_{n} (x)$

5) $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)}$ , $lim_{x \to a} g (x) \neq 0$

6) $lim_{x \to a} {(f (x))}^{p} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{p}$

$lim_{x \to a} \sqrt[p]{f (x)} = \sqrt[p]{lim_{x \to a} f (x)}$

7) $lim_{x \to b} a^{f (x)} = a^{lim_{x \to b} f (x)}$

Примеры

1) $lim_{x \to ∞} \frac{2 x^{3} + x + 7}{x^{2} + 3 x + 11}$ = $(\frac{∞}{∞})$ = (поделим числитель и знаменатель на x в высшей степени (x³)) = $lim_{x \to ∞} \frac{\frac{2 x^{3} + x + 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} + 3 x + 11}{x^{3}}}$ = (сократим) = $lim_{x \to ∞} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{11}{x^{3}}}$ = (все слагаемые, в знаменателе которых стоит x, стремятся к нулю) = $lim_{x \to ∞} \frac{2}{0}$ = ∞

2) $lim_{x \to 7} \frac{49 - x^{2}}{2 x^{2} - 12 x - 7}$ = $(\frac{0}{0})$ = (разложим на множители, используя формулы сокращённого умножения и решение квадратного уравнения) = $lim_{x \to 7} \frac{(7 - x) (7 + x)}{(x - 7) (2 x + 1)}$ = (вынесем "−" за скобки из (7 − x) в числителе) = $lim_{x \to 7} \frac{- (x - 7) (7 + x)}{(x - 7) (2 x + 1)}$ (сократим на (x − 7)) = $lim_{x \to 7} \frac{- x - 7}{2 x + 1}$ = (подставим x = 7) = $lim_{x \to 7} \frac{- 14}{15}$ = $- \frac{14}{15}$

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{sin f (x)}{f (x)} = 1$ , если f(x) → 0

Следствия первого замечательного предела

$lim_{x \to 0} \frac{x}{sin x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{tg x}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{arcsin x}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{arctg x}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{\frac{x^{2}}{2}} = 1$

Второй замечательный предел

$lim_{x \to ∞} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$

$lim_{x \to \pm ∞} {(1 + \frac{1}{f (x)})}^{f (x)} = e$ , если f(x) → ∞

Следствия второго замечательного предела

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}} = e$

$lim_{x \to ∞} {(1 \pm \frac{k}{x})}^{x} = e^{\pm k}$

$lim_{x \to 0} \frac{ln (1 + x)}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x ln a} = 1$ , a > 0, a ≠ 1

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{a} - 1}{a x} = 1$

Примеры:

1) $lim_{x \to 0} \frac{sin 7 x}{11 x} = lim_{x \to 0} \frac{sin 7 x}{11 x \cdot \frac{7}{7}} = lim_{x \to 0} \frac{sin 7 x}{7 x \cdot \frac{11}{7}} = lim_{x \to 0} (\frac{7}{11} \cdot \frac{sin 7 x}{7 x}) = \frac{7}{11} lim_{x \to 0} \frac{sin 7 x}{7 x} = \frac{7}{11}$

2) $lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{{sin}^{2} 22 x} = lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot x}{sin 22 x \cdot sin 22 x} = lim_{x \to 0} \frac{3 x}{sin 22 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{sin 22 x} = lim_{x \to 0} \frac{22 x \cdot \frac{3}{22}}{sin 22 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{22 x \cdot \frac{1}{22}}{sin 22 x} = \frac{3}{22} \cdot \frac{1}{22} = \frac{3}{484}$

3) $lim_{x \to ∞} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{17 x} = lim_{x \to ∞} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{17 x \cdot \frac{2}{2}} = lim_{x \to ∞} {({(1 + \frac{1}{2 x})}^{2 x})}^{\frac{17}{2}} = e^{\frac{17}{2}}$

Правила Лопиталя

Первое правило Лопиталя

$lim_{x \to k} \frac{f (x)}{g (x)} = (\frac{0}{0}) = lim_{x \to k} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ , f(x) и g(x) бесконечно малы в точке k

Второе правило Лопиталя

$lim_{x \to k} \frac{f (x)}{g (x)} = (\frac{∞}{∞}) = lim_{x \to k} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ , f(x) и g(x) бесконечно большие в точке k

Эквивалентные бесконечно малые функции

f(x) - бесконечно малая при x → x₀, a = const, p = const

Функция:		Эквивалентная функция:
sin(f (x))	~	f (x)
tg(f (x))	~	f (x)
arcsin(f (x))	~	f (x)
arctg(f (x))	~	f (x)
1 − cos(f (x))	~	$\frac{1}{2}$ (f (x))²
ln(1 + f (x))	~	f (x)
log_a(1 + f (x))	~	$\frac{1}{ln a}$ f (x)
e^{f (x)} − 1	~	f (x)
a^{f (x)} − 1	~	f (x) lna
(1 + f (x))^p − 1	~	p f (x)
${(1 + f (x))}^{\frac{1}{p}} - 1$	~	$\frac{f (x)}{p}$

Асимптоты

Функция y = f (x)

Вертикальная асимптота

x = a

a - точка разрыва 2-го рода функции f (x), для которой выполняется хотя бы одно из условий:

1. $lim_{x \to a^{+}} f (x) = \pm ∞$

2. $lim_{x \to a^{-}} f (x) = \pm ∞$

Горизонтальная асимптота

y = b

$b = lim_{x \to \pm ∞} f (x)$

Наклонная асимптота

y = kx + b

$k = lim_{x \to \pm ∞} \frac{f (x)}{x}$

$b = lim_{x \to \pm ∞} (f (x) - k x)$