Дробно-рациональная функция

Уравнение $y=\frac{a}{x+b}+c$, график - гипербола

1) $y=\pm \frac{1}{x}$

При положительном значении (рис. 1.1) ветви гиперболы проходят в I и III четвертях.

При отрицательном значении (рис. 1.2) ветви гиперболы проходят в II и IV четвертях.

2) $y=\frac{a}{x}$

a > 0 (рис. 2.1): при a = 1 гипербола проходит через точки (1; 1) и (−1; −1) (чёрный график), при a > 1 происходит расширение (коричневый), при 0 < a < 1 происходит сжатие (зелёный).

a < 0 (рис. 2.2): при a = −1 гипербола проходит через точки (1; −1) и (−1; 1) (чёрный график), при a < −1 происходит расширение (коричневый), при −1 < a < 0 происходит сжатие (зелёный).

3) $y=\frac{a}{x+b}+c$

Коэффициент b показывает смещение по оси Ox: при b > 0 смещение влево, при b < 0 - смещение вправо.

Коэффициент c показывает смещение по оси Oy: при c > 0 смещение вверх, при c < 0 смещение вниз.

Пересечение асимптот смещается в точку с координатами (−b; c)

Записать уравнение гиперболы по графику

Пересечение асимптот имеет координаты (− 3; 1), значит, b = 3, c = 1.

Выберем опорную точку A(− 5; 2) и подставим её в уравнение $y=\frac{a}{x+b}+c$:

$2=\frac{a}{-5+3}+1$

a = − 2

Уравнение: $y=-\frac{2}{x+3}+1$

Построение графика

Построить график функции $y=\frac{4x+14}{x+3}$

Приведём функцию к стандартному виду:

$y=\frac{4x+12+2}{x+3}$

$y=\frac{2}{x+3}+4$

Таким образом, пересечение асимптот смещается на 3 влево по оси Ox и на 4 вверх по Oy. Также происходит растяжение в 2 раза.