Аналитическая геометрия на плоскости

Содержание

Расстояние между двумя точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂)

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Деление отрезка из точки A(x₁; y₁) в точку B(x₂; y₂) в отношении λ

$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$

$y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$

Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0

Направляющий вектор:

p⃗(−B; A)

Вектор нормали:

n⃗(A; B)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b, k = tg α

$k=-\frac{A}{B}$, $b=-\frac{C}{B}$

Уравнение прямой в отрезках

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Направляющий вектор:

p⃗(a; b)

Каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор p⃗(a; b), точка M(x₀; y₀):

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$

Уравнение прямой через нормальный вектор

Нормальный вектор n⃗(n₁; n₂), точка M(x₀; y₀):

n₁(x − x₀) + n₂(y − y₀) = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁ (x₁; y₁), M₂ (x₂; y₂)

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Уравнение прямой в параметрическом виде

Направляющий вектор p⃗(a; b), точка M(x₀; y₀):

Взаимное расположение прямых

$tg\phi =\left|\frac{k_2-k_1}{k_1{k}_2+1}\right|$

$tg\phi =\left|\frac{A_1{B}_2-A_2{B}_1}{A_1{A}_2+B_1{B}_2}\right|$

Параллельные прямые

k₁ = k₂

A₁B₂ = A₂B₁

Перпендикулярные прямые

k₁k₂ = − 1

A₁A₂ = − B₁B₂

Расстояние от точки M₀ (x₀; y₀) до прямой Ax + By + C = 0

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0

Касательная к кривой f (x, y) = 0 в точке M(x₀; y₀)

$(y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0$

Поворот осей координат

Подставить данные выражения в общее уравнение, преобразовать, получим:

x₁²(A cos²α + 2B sin α cos α + C sin²α) + x₁y₁(−2A sin α cos α + 2B cos²α − 2B sin²α + 2C sin α cos α) + y₁²(A cos²α − 2B sin α cos α + C sin²α) + x₁(2D cos α + 2E sin α) + y₁(2E cos α − 2D sin α) + F = 0

Подобрать угол так, чтобы скобки перед x₁y₁ были равны 0:

−2A sin α cos α + 2B cos²α − 2B sin²α + 2C sin α cos α = 0

(C − A) sin 2α + 2B cos 2α = 0

$ctg2\alpha =\frac{A-C}{2B}$

Если A = C, то α = 45° ± 90°k

Если A ≠ C:

$cos2\alpha =\frac{ctg2\alpha }{\sqrt{1+{ctg}^{2}2\alpha }}=\frac{A-C}{\sqrt{4B^2+{(A-C)}^2}}$

$cos\alpha =\sqrt{\frac{1+cos2\alpha }{2}}$

$sin\alpha =\sqrt{\frac{1-cos2\alpha }{2}}$

Нормаль к кривой в точке M (x₀; y₀)

Явное задание

Функция y = f (x)

Нормаль $y=y_0-\frac{x-x_0}{y_0^{\prime }}$

Неявное задание

Функция F(x, y) = 0

Нормаль $y=y_0+\frac{{\left(F_y^{\prime }\right)}_0}{{\left(F_x^{\prime }\right)}_0}(x-x_0)$

Параметрическое задание

Функция

Нормаль $y=y_0+\frac{x_0^{\prime }}{y_0^{\prime }}(x-x_0)$

Уравнение окружности с центром в точке O (x₀; y₀) и радиусом R

(x − x₀)² + (y − y₀)² = R²

Общее уравнение окружности

x² + y² + Ax + By + C = 0

Эксцентриситет окружности

ε = 0

Каноническое уравнение эллипса

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса

Уравнение эллипса с центром в точке C (x₀; y₀)

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1$

Расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса: $c=\sqrt{|a^2-b^2|}$

Эксцентриситет эллипса

$\epsilon =\frac{c}{a}$

0 ≤ ε ≤ 1

Площадь эллипса

S = πab

S - площадь эллипса, a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса

Касательная к эллипсу в точке M(x₀; y₀)

Эллипс задан каноническим уравнением с центром в точке O(0; 0)

$\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$

Каноническое уравнение гиперболы

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Уравнение гиперболы с центром в точке C (x₀; y₀)

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}-\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1$

Расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии гиперболы: $c=\sqrt{a^2+b^2}$

Эксцентриситет гиперболы

$\epsilon =\frac{c}{a}$

ε ≥ 1

Асимптоты гиперболы

$y=\pm \frac{b}{a}x$

Касательная к гиперболе в точке M(x₀; y₀)

Гипербола задана каноническим уравнением с центром в точке O(0; 0)

$\frac{x{x}_0}{a^2}-\frac{y{y}_0}{b^2}=1$

Определение

Парабола - множество точек, равноудалённых от данной прямой (директрисы параболы) и данной точки (фокуса параболы), не лежащей на директрисе

Общее уравнение параболы

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Каноническое уравнение параболы с фокусом в точке $F(\frac{p}{2};0)$

y² = 2px

p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы, вершина параболы лежит посередине между ними)

Уравнение параболы с вершиной в точке C (x₀; y₀)

(y − y₀)² = 2p(x − x₀)

Директриса параболы

$x=-\frac{p}{2}$

Эксцентриситет параболы

ε = 1

Фокальная хорда

Фокальная хорда - отрезок с концами на параболе, проведенный через фокус перпендикулярно оси

Касательная к параболе в точке M(x₀; y₀)

Парабола задана каноническим уравнением с вершиной в точке O(0; 0)

yy₀ = p(x + x₀)